({{, (RefLink[LogMultinormalDistribution, paclet:ref/LogMultinormalDistribution])[μ,Σ] 
represents a log-multinormal distribution with parameters μ and Σ.}})

OpenersNotesSection(Spacer1)Details

(RefLink[LogMultinormalDistribution, paclet:ref/LogMultinormalDistribution])[μ,Σ] is equivalent to (RefLink[TransformedDistribution, paclet:ref/TransformedDistribution])[(RefLink[Exp, paclet:ref/Exp])[{(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),…,(Subscript[u, n])}],{(Subscript[u, 1]),(Subscript[u, 2]),…,(Subscript[u, n])}\[Distributed](RefLink[MultinormalDistribution, paclet:ref/MultinormalDistribution])[μ,Σ]].

(RefLink[LogMultinormalDistribution, paclet:ref/LogMultinormalDistribution]) allows μ to be any vector of real numbers, and Σ any symmetric positive definite p×p matrix of real numbers with p=(RefLink[Length, paclet:ref/Length])[μ].

OpenersPrimaryExamplesSection(Spacer1)Examples  (17)

OpenersExampleSection0(Spacer1)Basic Examples  (4)

Probability density function:

Table[Plot3D[PDF[LogMultinormalDistribution[{0,0},{{1,ρ},{ρ,1}}],{x,y}]//Evaluate,{x,0,3},{y,0,3},PlotRange->All,PlotPoints->12,MeshFunctions->{#3&},MeshShading->{None,Red,None,Yellow},PlotLabel->ρ],{ρ,{-.9,-.7,-.1,0,.4,.8}}]

PDF[LogMultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2])},{{((Subscript[σ, 1])^2),(Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])ρ},{(Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])ρ,((Subscript[σ, 2])^2)}}],{x,y}]

Cumulative distribution function:

Table[Plot3D[CDF[LogMultinormalDistribution[{0,0},{{1,ρ},{ρ,1}}],{x,y}],{x,0,3},{y,0,3},PlotRange->All,PlotLabel->ρ,MeshFunctions->{#3&},MeshShading->{None,Red,None,Yellow}],{ρ,{-.9,-.7,-.1,0,.4,.8}}]

Mean and variance:

Σ={{((Subscript[σ, 1])^2),ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])},{ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2]),((Subscript[σ, 2])^2)}};

Mean[LogMultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2])},Σ]]

Variance[LogMultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2])},Σ]]

Covariance:

Σ={{((Subscript[σ, 1])^2),ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])},{ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2]),((Subscript[σ, 2])^2)}};

Covariance[LogMultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2])},Σ]]

OpenersExampleSection1(Spacer1)Scope  (6)

Generate a sample of pseudorandom vectors from a log-multinormal distribution:

sample=RandomVariate[𝒹=LogMultinormalDistribution[{1,2},{{1,.2},{.2,1}}],10^4];

Visualize the sample using a histogram:

{Histogram3D[sample,250,"PDF",PlotRange->{{0,10},{0,10},All},ColorFunction->"Rainbow"],Plot3D[PDF[𝒹,{x,y}]//Evaluate,{x,0,10},{y,0,10},PlotPoints->35,PlotRange->All,ColorFunction->"Rainbow"]}

Distribution parameters estimation:

sample=RandomVariate[LogMultinormalDistribution[{1,2,4},{{2,-1/4,1/3},{-1/4,2/3,1/5},{1/3,1/5,1/2}}],10^3];

Estimate the distribution parameters from sample data:

edist=EstimatedDistribution[sample, LogMultinormalDistribution[Array[μ,3],Array[s,{3,3}]],ParameterEstimator->"MethodOfMoments"]

Goodness-of-fit test:

DistributionFitTest[sample,edist]

Skewness:

Σ={{((Subscript[σ, 1])^2),ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])},{ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2]),((Subscript[σ, 2])^2)}};
{sk1,sk2}=Skewness[LogMultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2])},Σ]]

Plot[sk1,{(Subscript[σ, 1]),0,.5},Filling->Axis]

Limiting values:

{Limit[sk1,(Subscript[σ, 1])->0],Limit[sk1,(Subscript[σ, 1])->Infinity]}

Kurtosis:

Σ={{((Subscript[σ, 1])^2),ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])},{ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2]),((Subscript[σ, 2])^2)}};
{kurt1,kurt2}=Kurtosis[LogMultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2])},Σ]]

Plot[kurt1,{(Subscript[σ, 1]),0,.5},Filling->Axis]

Limiting values:

{Limit[kurt1,(Subscript[σ, 1])->0],Limit[kurt1,(Subscript[σ, 1])->Infinity]}

Hazard function:

Table[Plot3D[HazardFunction[LogMultinormalDistribution[{0,0},{{1, ρ},{ ρ,1}}],{x,y}],{x,0,1},{y,0,1},PlotRange->{0,100},PlotLabel->ρ,MeshFunctions->{#3&},MeshShading->{None,Red,None,Yellow},ViewPoint->{3,0,2}],{ρ,{-.2,0,.5}}]

Univariate marginals follow (RefLink[LogNormalDistribution, paclet:ref/LogNormalDistribution]):

Σ=(({{((Subscript[σ, 1])^2), (Subscript[ρ, 12]) (Subscript[σ, 1]) (Subscript[σ, 2]), (Subscript[ρ, 13]) (Subscript[σ, 1]) (Subscript[σ, 3])}, {(Subscript[ρ, 12]) (Subscript[σ, 1]) (Subscript[σ, 2]), ((Subscript[σ, 2])^2), (Subscript[ρ, 23]) (Subscript[σ, 2]) (Subscript[σ, 3])}, {(Subscript[ρ, 13]) (Subscript[σ, 1]) (Subscript[σ, 3]), (Subscript[ρ, 23]) (Subscript[σ, 2]) (Subscript[σ, 3]), ((Subscript[σ, 3])^2)}}));𝒟=LogMultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2]),(Subscript[μ, 3])},Σ];

MarginalDistribution[𝒟,1]

Multivariate marginals follow a log-multinormal distribution:

MarginalDistribution[𝒟,{1,3}]

OpenersExampleSection2(Spacer1)Properties & Relations  (7)

Relationships to other distributions:

(RefLink[LogMultinormalDistribution, paclet:ref/LogMultinormalDistribution]) is a transformation of (RefLink[MultinormalDistribution, paclet:ref/MultinormalDistribution]):

Σ={{((Subscript[σ, 1])^2),ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2]),(Subscript[ρσ, 1])(Subscript[σ, 3])},{ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2]),((Subscript[σ, 2])^2),(Subscript[ρσ, 2])(Subscript[σ, 3])},{(Subscript[ρσ, 1])(Subscript[σ, 3]),ρ (Subscript[σ, 2])(Subscript[σ, 3]),((Subscript[σ, 3])^2)}};

TransformedDistribution[{Exp[u],Exp[v],Exp[z]},{u,v,z}\[Distributed]MultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2]),(Subscript[μ, 3])},Σ]]

(RefLink[LogMultinormalDistribution, paclet:ref/LogMultinormalDistribution]) is a transformation of (RefLink[BinormalDistribution, paclet:ref/BinormalDistribution]):

TransformedDistribution[{Exp[u],Exp[v]},{u,v}\[Distributed]BinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2])},{(Subscript[σ, 1]),(Subscript[σ, 2])},ρ]]

One-dimensional marginal is (RefLink[LogNormalDistribution, paclet:ref/LogNormalDistribution]):

Σ={{((Subscript[σ, 1])^2),ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])},{ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2]),((Subscript[σ, 2])^2)}};
MarginalDistribution[LogMultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2])},Σ],1]//Simplify[#,(Subscript[σ, 1])>0]&

Special case with diagonal matrix is (RefLink[ProductDistribution, paclet:ref/ProductDistribution]) of (RefLink[LogNormalDistribution, paclet:ref/LogNormalDistribution]):

Σ={{((Subscript[σ, 1])^2),0},{0,((Subscript[σ, 2])^2)}};
PDF[LogMultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2])},Σ],{x,y}]

PDF[ProductDistribution[LogNormalDistribution[(Subscript[μ, 1]),(Subscript[σ, 1])],LogNormalDistribution[(Subscript[μ, 2]),(Subscript[σ, 2])]],{x,y}]

Simplify[%-%%,(Subscript[σ, 1])>0&&(Subscript[σ, 2])>0]

(RefLink[LogMultinormalDistribution, paclet:ref/LogMultinormalDistribution]) is related to (RefLink[LogNormalDistribution, paclet:ref/LogNormalDistribution]):

Σ={{((Subscript[σ, 1])^2),ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2])},{ρ (Subscript[σ, 1])(Subscript[σ, 2]),((Subscript[σ, 2])^2)}};
TransformedDistribution[u*v,{u,v}\[Distributed]LogMultinormalDistribution[{(Subscript[μ, 1]),(Subscript[μ, 2])},Σ]]

(RefLink[LogMultinormalDistribution, paclet:ref/LogMultinormalDistribution]) is a slice distribution for (RefLink[GeometricBrownianMotionProcess, paclet:ref/GeometricBrownianMotionProcess]):

GeometricBrownianMotionProcess[μ,σ,init][{s,t}]

GeometricBrownianMotionProcess[0,1,E][{1,2}]

({{DocumentationFooterIconsRelatedFunction.png, ({{See Also}, {(RefLink[MultinormalDistribution, paclet:ref/MultinormalDistribution])  ▪  (RefLink[LogNormalDistribution, paclet:ref/LogNormalDistribution])  ▪  (RefLink[BinormalDistribution, paclet:ref/BinormalDistribution])  ▪  (RefLink[GeometricBrownianMotionProcess, paclet:ref/GeometricBrownianMotionProcess])}})}})

({{DocumentationFooterIconsRelatedGuide.png, ({{Related Guides}, {▪(RefLinkPlain[Normal and Related Distributions, paclet:guide/NormalRelatedDistributions])}})}})